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Quaderno di geometria

di Leonardo Sinisgalli
A. IV, n. 9-10-11-12  (set-ott-nov-dic 1936)


L’inverno ci stringe d’assedio nella nostra solitudine. Il corpo è aspro e pulito: l’aria di certi giorni tersa più della falce. Nelle nostre stanze il fuoco ha questo crepitìo continuo, questo attizzarsi, questo mangiarsi il proprio cuore insaziabilmente. Quando eravamo ragazzi ci bastava, per scaldarci, un pezzo di brace raccolto nel cavo delle mani: vi soffiavamo fino a consumarlo col nostro fiato. Erano così lunghe allora le strade dell’abitato che per arrivare dietro le mura ci pareva di traversare nel nevischio un intero continente. Ci eravamo fatta del mondo l’immagine di un corpo duro che d’inverno ritrovava la sua rigida compattezza, il suo estremo di solidificazione sonora, contro cui la mazza batteva i suoi colpi e si alzavano ripe di sostegno alle frane, si scavavano mine nella roccia. I maniscalchi ci davano a manovrare la leva del mantice che soffiava sul fuoco cupi respiri di organo. Il cavallo stava fuori legato alla boccola del morso con le vene che il vento freddo rabbrividiva sotto la pelle. Si scalfiva l’unghia fino a ritrovare l’anima bianca e tenera. Il ferro rosso premuto sulla pianta dello zoccolo ci saziava di fumo e di odore. ● L’inverno conserva per noi questo senso di stagione minerale, di paesaggio incorruttibile e casto, che sottopone i nostri pensieri a una rigida vigilanza. Stagione la meno adatta a nutrire le nostre immaginazioni false, tanto il suo clima ci porta viva sotto gli occhi la nostra segreta natura. Ci ritorna il controllo sulle nostre disposizioni più funeste: quel credere di guarire un male con un male peggiore, e l’illusione di scampare ogni pena in una morte perenne. Ci crediamo difesi da una morte assoluta: ma tanto vale trar profitto da questa prigione in cui ci siamo chiusi come entro una barriera di specchi. Moviamoci con prudenza e soprattutto teniamoci desti ad alimentare il fuoco. ● La nostra agitazione rimane lungamente sedata da questo tranquillo letargo dei sensi. Eppure non ci sentiamo mai così vivi come in questi giorni che acqua e vento  restringono intorno al nostro corpo, come intorno a una sepoltura. Sono raffiche di suoni che premono contro i muri a eccitare la nostra presenza soffocata. Talvolta è un uccello che viene a battere col becco contro i vetri, invano, perché l’insetto è qui nella nostra stanza che ronza e si affaccia appena alla parete luminosa. La nostra passione dominante resta assorbita dai pensieri. Né la collera, né i rimorsi riescono a distruggere la calma che si edifica intorno a questa scottante ansia, a questa limpida noia di pensarci, di riconoscerci dentro una vena di segrete memorie. È un lento processo di rinvenimento a cui ci sottoponiamo volontariamente, con una tecnica che i medici dei metalli chiamano «ricottura» e che riesce a stabilire l’equilibrio perduto nella grana dei cristalli. La nostra umida anima si rassetta entro il nostro corpo. La nostra presenza fa presa a questa sensibile murata. È una malta che solidifica in noi come una calce: la sua porosità riesce a servirsi della luce, e maturarla e spegnerla. ● Non ci facciamo eccessive illusioni: da certi inverni si esce irreparabilmente invecchiati, forse a causa di questo digiuno a cui teniamo costretti gli organi più vivi. L’età del freddo si fa sempre più prossima e certa. La nostra solitudine si restringe: non ci bastano più gli stimoli e neppure le minacce. Noi siamo i soli responsabili del nostro destino. Abbiamo da scontare le nostre più intime colpe che sono le sole nostre colpe e le più segrete. Fuori di noi la natura è casta e gli uomini sono veramente innocenti. Proviamo ad aver pietà di noi stessi quanta è la simpatia che abbiamo per gli altri e pensiamo che l’unico nostro vero delitto è l’alterare la nostra sincerità, la sola moneta che vale a rinsaldare i nostri commerci con gli uomini. Affiniamo l’esercizio della nostra conoscenza col rendere inevitabile ogni giorno quell’esame che le pratiche pitagoriche rimandavano alla sera, quando il dolce sonno scivola sotto i nostri occhi, come sta scritto in uno dei Versi d’oro. L’uomo saggio è giudice di sé e passa l’unghia su tutte le sue azioni. Egli è come un globo arrotondato e chiuso in se stesso, in modo che nessun contatto esterno può intaccare in più di un punto la sua superficie liscia. Finché dura il giorno sotto il segno di Capricorno egli si esamina, si assaggia, si pesa sul piatto di una giusta bilancia. Ripassiamo gli atti della nostra giornata, svegliamo i nostri ricordi anche più remoti, quelli che inconsapevolmente lasciano tracce sulla nostra radice luminosa. Solo con una guardia vigile noi potremo difenderci dalle lusinghe che guastano ancora il nostro sonno e fanno torbido il sangue nella allegrezza del mattino. 
Cerchiamo di capire la vera natura del fuoco tanto vicina alla sostanza dei nostri pensieri. Nessuno ormai dubita dello stimolo che venne a Cartesio dal calore acido della stufa quando, in quel lontanissimo inverno, stendeva le prime miracolose pagine del DISCORSO. ● Desterà sempre la più alta meraviglia il riflettere come possa mai accadere che una sostanza così tenue, così elastica ed attiva, capace di disgregare qualunque corpo, stia ritenuta ed inceppata in quelli in modo tale che non palesi il minimo segno della sua presenza e non eserciti in minimo grado la poderosa sua efficacia nativa. Il legame di affinità è certo il più generale e il più fermo che unisce insieme le differenti parti della materia. Ma basta appena che quel nobile principio di fiamma si sprigioni tra il tessuto dei corpi ov’era combinato e ristretto per riprendere il suo potere prodigioso e manifestarsi libero e attivissimo a suscitar calore. L’attrito è il vero germe della nostra memoria; questa scorta di energia apparentemente dispersa e così utile se noi sappiamo attizzarla. È la scoria più genuina del nostro sentimento: risultato di un lavorìo continuo e insensibile di cui pure ignoriamo la causa, ma che è da intendersi come residuo della nostra più prolungata fermentazione. Un mucchio di grano macerato con acqua e gettato nell’angolo della stanza acquista tale grado di calore che non avremo il coraggio di affondarvi la mano. Non riponiamo troppa fiducia negli stimoli esterni, nelle letture: hanno la durata ingannevole di un foglio di carta che brucia. Tanto vale imporsi l’attenzione come una abitudine, concentrare tutto il fuoco nel cavo di questa lente. Ma è una disciplina per iniziati, l’unica adatta a quel lento lavoro di sonda che consiste nel veder chiaro in noi stessi, lavoro di una spaventosa pazienza, quanta ne richiesero ad Archimede gli specchi per ardere le navi. È difficile precisare fino a che punto esso rinneghi e diffidi il controllo dei sensi e la fantasia. Qualcuno ci ha lasciato traccia di una simile pratica. Leonardo vi si trovò impegnato tutta la vita, in ogni attimo. È come sentire il tempo ripiegarsi e la materia perire giorno per giorno entro di noi. È una forza inerte eppure attiva, come la mano mancina, come la volontà dei morti.
La prima proprietà del fuoco libero e la più generale e costante del nostro pensiero è quella di dilatare la forma di tutti i corpi e il confine delle parole. Ma si potrebbe spingere oltre questa affinità e dedurre non solamente che il pensiero è corpo, ma che i suoi legami sono sottilissimi ed estremamente mobili, e devono essere le parole dure  all’eccesso e dotate di una tale forza da superare l’aderenza di quello che possiamo chiamare il magma delle cose. Ma fino a che punto noi possiamo agire col fuoco senza disgregare la sostanza delle cose, senza corrompere il loro profilo e trovarci nelle mani cenere e calce, vale a dire uno scheletro distrutto? Bisogna evitare per quanto è possibile l’infiammazione, portare la nostra ispirazione a un clima di luce e di calore latente, quello che riesce a salvare, a tener vivi sotto strati di polvere i fossili e le  mummie.
Guardiamo da vicino questo tempio tranquillo dalle ossa forti, questo miracolo di stabilità da cui è tuttora sorretta la nostra incorruttibile forma. Esploriamone le fondamenta e vedremo come si sia riusciti a completare la cima di questa fabbrica massiccia e severa. E anzitutto liberiamoci anche noi dal dubbio se gli oggetti della geometria  appartengano all’intelligenza oppure sono già nel dominio dei sensi e teniamoci dietro agli insegnamenti sparsi nei DIALOGHI. ● La conquista più importante in cui si può far consistere quello che Pascal per primo chiamò «esprit de géométrie» è la scoperta di un senso della «misura» e della  «posizione» che costituisce l’espressione meno apparente e più vera delle cose. Come da una teoria della perfetta misura, del numero d’oro, si passi a poco a poco a una più libera visibilità applicata alle figure, vale a dire come si sia riusciti ad allargare con l’aiuto dell’occhio la clausura dell’intelletto è quello che ci preme chiarire innanzi tutto. Che la geometria venisse intesa come una facoltà metafisica dell’occhio, ecco quanto possiamo apprendere da Platone. Socrate ha tracciato un quadrato sull’arena e insegna a uno schiavo a ritrovarne le proprietà. Socrate dice a Menone: «Non osservi tu ancora come costui sia andato innanzi sulla via del ricordarsi? Dapprima non sapeva quale fosse il lato del quadrato avente una superficie di otto piedi, cosa che egli non sa ancora adesso. Ma prima credeva di saperlo e rispondeva con disinvoltura, senza sentirsi in alcun modo perplesso. Ora invece è più nell’incertezza, e siccome non sa, così non s’illude neppure di sapere. Sta ora attento come da questa incertezza egli col mio aiuto cercherà e troverà, mentre io interrogherò e non insegnerò. Fa bene attenzione se tu trovi ch’io gl’insegni o gli spieghi, o se non piuttosto gli chiegga i suoi modi di vedere». Da questo passo e da un altro ancora più famoso, ma talmente oscuro che ha avuto, ad opera di filologi e di storici della scienza, ben trentaquattro interpretazioni diverse, un passo che va sotto il nome di «ipotesi geometrica» di Menone e che comprende non più di centodieci parole, è per la prima volta provata la necessità della discussione geometrica di un problema e per la prima volta si pone il dubbio che questa dimostrazione possa essere talora addirittura impossibile. Vale a dire che Platone spinto da un’esigenza logica è costretto a riaffermare la natura misteriosa di certe verità. Come si spiegherebbe altrimenti l’origine favolosa del «Problema di Delo», l’oracolo a cui Platone per primo seppe dare una risposta? Narrano che uno degli antichi poeti tragici facesse apparire sulla scena Mino, leggendario re di Creta, nell’atto di far costruire una tomba a Glauco, suo figlio; e che Mino accorgendosi che questa era lunga da ogni lato cento piedi, dicesse: piccolo spazio accordasti a un sepolcro di re: raddoppialo, conservandolo sempre di forma cubica. Pare che più tardi i Delii, spinti da Apollo a duplicare una certa ara, caddero pure in errore. E alcuni legati vennero spediti ai geometri che convenivano con Platone nell’Accademia, per eccitarli a cercare quanto era richiesto dall’oracolo. ● Può darsi che anche il ritmo dell’esametro fosse inteso da Platone più che come il risultato di un rapporto numerico, ché era questa l’idea che Pitagora s’era fatta   dell’armonia, come una vera e propria figura, come una forma vista, la danza, e sentita fisicamente, non in astratto. La bellezza contemplata nella sua attitudine è musica (algebra) o piuttosto architettura (geometria)? Perché allora i discepoli di Socrate guardarono tanto a lungo il corpo di Alcibiade? È forse in questa fiducia nei sensi, contro tutte le crudeltà dialettiche di Zenone, che bisogna ricercare la segreta linfa dei Dialoghi? ● Ma ecco fino a che punto spinsero i greci la fiducia nell’occhio. A credere che i raggi luminosi uscissero dalla pupilla, anziché procedere dall’oggetto. È un errore che non compromette minimamente il meccanismo della visione, perché Euclide stabilì con certezza il cammino rettilineo della luce. Il suo errore impegna tutto un sistema di miti a fondamento del quale stava la verità che l’uomo è misura di ogni cosa. È impossibile pensare che un greco si sarebbe rinnegato. In un campo cosmico lo stesso errore portò all’astronomia tolemaica, alla terra (occhio fermo) centro (origine) di tutte le sfere (le cose mobili). I greci capirono meglio il legame che la luce pone tra i corpi, più che la natura stessa della luce. Così l’ottica fu salva a scapito della metafisica e Archimede poté scoprire più tardi gli specchi ardenti. Dalla inverosimile ipotesi che l’origine dei raggi visuali si trovi nell’occhio invece che negli oggetti illuminati, Euclide derivò alcune conseguenze, assai suggestive nel loro linguaggio e che potremmo aggiungere al catalogo che Leopardi ha fatto degli errori degli antichi: l’impossibilità di percepire nello stesso momento tutto un oggetto e la tendenza delle cose, viste a distanza, ad apparirci tonde, smussate (la luna). Euclide derivò da Platone il metodo, il ragionare per via di ipotesi, che fa la compattezza di quel suo edificio, vera somma della logica e della fantasia. Egli non si aspetta più nulla dalla rivelazione. ● Per opera di questo alessandrino il mondo civile entra in possesso del codice dell’estensione figurata, mentre, contemporaneamente, spettava ad Archimede il dono di una vera e propria ispirazione alla ricerca, quale non fu mai tentata prima di Leonardo (dopo: da Gerolamo Cardano e Giambattista Della Porta), un’immaginazione egualmente ricca di artifici e di capricci. Archimede ha aperto la strada alla scoperta dell’operatore più efficace di cui la ragione s’è trovata in possesso per analizzare i fenomeni (e definirne le leggi), in ciò che essi hanno di sostanza bruta, perennemente repetibile. Mediante il calcolo sublime (il calcolo degli indivisibili di Bonaventura Cavalieri che Galileo chiamò appunto «alter Archimedes») ogni esperienza naturale viene fermata nell’attimo in cui essa è costante o monotona, nell’attimo in cui la natura, in un certo senso, non trova il tempo di pentirsi. Nelle sue formule numeri e figure diventano leggi di natura, i veri modi di esprimersi del tempo in ogni attimo della sua caduta. Espressioni che oramai non combaciano più coi modelli perfetti di Platone, ma ad essi si accostano con una approssimazione che si sprigiona da esse stesse,  indefinitamente, quasi un germe vitale, imperituro, spinto al suo limite di accertamento da una nuova specie di fatalità. Vere macchine logiche in perpetuo moto che  dell’accaduto si servono come della sola effettiva probabilità che possa ancora nutrire il tempo. E non è senza una ragione se alla definitiva estensione di questo linguaggio vediamo impegnati fisici e filosofi come Newton e Leibniz, e se il nostro Galileo che ne ebbe notizia dal suo discepolo Bonaventura Cavalieri se ne mostrò tanto stupito. È un calcolo che ci ha portato a dar valore ai minimi accidenti, quelli che fanno del tempo un ordine continuo, senza fratture, senza scosse, e che sono il vero seme della memoria e del sonno. «Non si dorme mai così profondamente che non s’abbia qualche sensazione debole o confusa: e non si sarebbe mai destati dal più gran rumore del mondo, se non si avesse qualche percezione del suo principio, che è piccolo, come non si spezzerebbe mai una corda col maggiore sforzo del mondo, se essa non fosse già tesa e allungata un po’ mediante sforzi minori, quantunque questa piccola distensione che essi producono non apparisse». È un passo di Leibniz che ha un punto di contatto con quella curiosa nota degli ANALECTA: «Si un fil etai parfaitement homogène, quelle que fut sa minceur, quelque poids que l’on y suspende, quelque secousse il vienne à subir, il ne saurait se rompre, il ne saurait où se rompre». Ma sono proprio gli accidenti, sono i piccoli fatti, quelli che non sembrano accordarsi alle grandi leggi della natura, che invece ne sono una conseguenza tanto necessaria quanto le rivoluzioni del sole. Data la sottigliezza dei legami che li uniscono al sistema intero dell’universo, si sono fatti dipendere da cause finali, o dal caso, secondo che essi derivano o si succedono con regolarità ovvero senza un ordine apparente. Noi dobbiamo  giustificarci lo stato presente dell’universo come l’effetto del suo stato anteriore e come la causa di quello che sta per succedergli. Una intelligenza che per un dato istante conoscesse tutte le forze di cui la natura è animata, e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono, anche se questa è troppo vasta per sottoporre i dati all’analisi, abbraccerebbe nella stessa formula i movimenti dei più grandi corpi e quelli del più leggero atomo: niente sarebbe incerto, allora, e l’avvenire come il passato sarebbero presenti ai suoi occhi. Lo spirito umano offre nella perfezione che ha saputo dare alle regole degli astri un debole saggio di questa intelligenza. Le sue scoperte meccaniche e geometriche, congiunte a quelle della gravitazione universale, l’hanno messo in grado di comprendere nelle stesse espressioni analitiche gli stati passati e futuri del sistema del mondo. Questi sforzi tendono ad avvicinarci incessantemente a quell’intelligenza perfetta che noi abbiamo concepito, ma dalla quale  resteremo sempre infinitamente distanti. Sono parole di Laplace tolte dal suo ESSAI PHILOSOPHIQUE SUR LES PROBABILITES. ● Ma se è rimasto pressoché intatto l’edificio geometrico euclideo, la meccanica classica, di Galilei e di Newton, ha subito invece veri colpi di piccone da parte della critica moderna. Proprio perché l’infinitamente piccolo, materialmente vivo, non è così piccolo quanto si poteva pensare. Vale a dire che «l’infinitesimo» fisico è più vicino all’«indivisibile» di Cavalieri e di Archimede, alla «monade» di Leibniz, che non a quello dei puri matematici come Dedekind e Cantor, i veri legislatori del continuo e  dell’infinito. Così che se i teoremi di Euclide restano validi sopra una superficie piana, i principii di meccanica grossa di Galilei, necessari a darci ragione dell’equilibrio delle stelle, devono subire una correzione, se vogliono estendersi al mondo degli atomi. ●  Il principio della continuità di Dedekind lo si potrebbe esprimere assai suggestivamente, come quel personaggio a cui Apollinaire lo mise in bocca nella sua commedia surrealista: LE MAMMELLE DI TIRESIA: «Tra due punti di una retta c’è sempre posto per un altro punto». Questo postulato, insieme alle proprietà che Euclide stabilì per la retta e ad un curioso lemma di Archimede (dati due segmenti si può sempre trovare un multiplo di uno qualunque di essi che superi l’altro) hanno contribuito a stringere in maniera indissolubile i vincoli, già saldi per merito di Cartesio, tra numero e figura. Hanno chiarito il concetto di «punto» e hanno servito alla più precisa ordinazione dell’insieme numerabile fino al limite dell’infinito. È impossibile accennare in poche righe quale sia, oltre il risultato, il metodo di queste ricerche. Ma l’impulso a siffatta critica sembra essere venuto da ciò: che, avendo dovuto riconoscere alcunché di sperimentale e però di non logico e non necessario, nella scienza dello spazio, la mente matematica ha cercato di salvare sopra una base puramente logica e razionale i principii dell’analisi, facendo capo al primo e più semplice concetto del numero intero. Il numero, diceva Gauss, è un puro prodotto della nostra mente, laddove spazio e tempo hanno anche fuori del nostro spirito una realtà, di cui a priori non possiamo segnare le leggi. Ma il numero non può sorgere come concetto isolato; esso implica una quantità, un gruppo di oggetti, un paragone e una corrispondenza tra oggetto e oggetto. Tutta la critica recente si appunta precisamente sullo studio degli ordini e delle corrispondenze che si possono stabilire entro e fra classi o «insieme» di oggetti: studio assurto a costituire un ramo generalissimo della scienza matematica, immune da ogni contagio metafisico, traverso l’opera di Giorgio Cantor. La scienza del numero prescinde oramai perfino da ogni questione psicologica di origine e di significato, è diventata una dottrina puramente formale; e alla base sta il caratteristico paradosso di David Hilbert: «In principio era il segno». Vale a dire che non interessa neppure più la specie delle quantità che entrano nei simboli ma solo i loro rapporti logici, cioè la conoscenza dei fatti generalissimi. Il turgido linguaggio che ha servito a stabilire queste leggi è di una grande forza vitale, un linguaggio gremito, quale forse si era sperimentato, dopo Leonardo, solo da Bacone nel NOVUM ORGANUM. Così è stata precisata la «numerabilità» di un insieme, la sua «potenza» che coincide col concetto di numero «cardinale» infinito, la sua «densità», l’«ordine» che nasce dalla similitudine fra due «insiemi» mediante una corrispondenza che muti gli elementi successivi dell’uno in elementi successivi dell’altro. Ed il concetto astratto di questa similitudine fra insiemi bene ordinati (cioè ordinati in modo che ogni singola parte possieda un primo  elemento) s’identifica con quello di numero «ordinale» infinito. Si dimostra allora che i punti del piano e dello spazio, sono «insiemi» di eguale potenza e questa coincide con la potenza del continuo lineare. Nello stesso modo si conclude invece che l’insieme dei numeri interi e quello dei numeri razionali (interi e frazionari) sono numerabili, ma la loro potenza, la potenza del numerabile è addirittura trascurabile rispetto alla potenza del continuo (che comprende i numeri reali, ossia i razionali e gli irrazionali). ● Questa dottrina esercita un’innegabile attrazione su chiunque senta il fascino di teorie concettualmente ricche, per il suo vivo contenuto matematico e filosofico. Forse rappresenta l’estremo risultato a cui può portare la logica applicata alla considerazione di classi astratte, in cui la natura degli oggetti è affatto indifferente. Solo ora noi possiamo dire di saper contare e stabilire tra i numeri una gerarchia.
Leonardo fu il primo ad accorgersi che l’uomo è creato «con membra atte al moto», che cioè il corpo umano è un monumento di macchine. Egli intese il moto, come un atto gravido di volontà. «La forza dal moto spirituale ha origine, il quale moto, scorrendo per le membra degli animali sensibili ingrossa i muscoli di quelli, onde ingrossati essi muscoli si vengono a raccortare e trarsi dirieto i nervi che con essi sono congiunti e di qui si causa la forza per le membra umane.» E in altro luogo aggiunge che questi moti «nascono dal centro delle loro gravità che è posto in mezzo a parti di pesi diseguali e vi giocano per carestia e dovizia, per lieva e controlieva». Meditando su queste scoperte è toccato a Valéry di stabilire una vera gerarchia tra le parti del corpo umano, proprio in funzione della loro «mobilità». Così egli ha riconquistato all’occhio «il più veloce dei nostri sensi», il suo valore, il suo potere «superiore e principe» come sta scritto nel CODICE ATLANTICO. Valore che coincide con un diverso grado di sollecitudine, agli atti della nostra volontà, il massimo forse rispetto alle altre parti del corpo: le dita della mano, la lingua, la testa, le dita del piede, la mano, l’avambraccio, il piede, le membra inferiori, i lombi, la spalla. Vale a dire che la nostra presenza nel nostro corpo è ripartita entro zone di densità assai variabile. Valéry sarebbe pervenuto a dare, con l’aiuto di Leonardo, il significato più concreto alla nostra «animazione». ● Ma si può andare oltre in questa gerarchia e portare anche le macchine al paragone. Bisogna prima di tutto farsi una idea precisa di quelli che sono i legami delle  membrature, stabilire le loro possibilità di accoppiamento, i loro vincoli, le loro giunture, cioè a dire i principii di una sintassi delle macchine. Un corpo rigido, libero di  muoversi istantaneamente rispetto a un altro corpo, non può realizzare che tre movimenti semplici: due rotazioni e uno scorrimento. Un corpo libero non ha che questi tre gradi di libertà. L’accoppiamento di due membrature, può farsi in modo da ridurre, fino a sopprimere questi gradi di libertà, a seconda della natura del vincolo, che può essere un semplice appoggio, e lasciare tutte le possibilità, oppure un incastro che lega e sposa i due membri in uno. Ora le parti delle macchine sono vincolate in modo che ogni punto è costretto a muoversi su itinerari prestabiliti. In quella scala, riportata innanzi, andrebbero a prendere posto negli strati più bassi. Si deve a Gerolamo Cardano (un nome che entra interamente nella sfera della intelligenza e del tempo di Leonardo) la costruzione di un «giunto» a cui la meccanica ha legato per sempre il suo nome e che rappresenta il tentativo più astuto di stringere due membri di una macchina con una libertà assai prossima a quella delle articolazioni umane. Il moto delle macchine viene così a risolversi in una successione periodica di stati di equilibrio che i vincoli continuamente scompongono. Queste giunture creano delle zone di contatto tra i diversi membri, delle superfici la cui qualità geometrica viene a determinare la reciproca libertà stabilita dal vincolo. Così l’accoppiamento di due superfici sferiche (giunti di Cardano) definisce la massima libertà. Due cilindri (perni) permettono la rotazione; due superfici a contorno poligonale (pattini) permettono il solo scorrimento relativo. C’è ancora un fattore che interviene a sottolineare queste distinzioni: l’attrito. Questa «perdita» con cui la natura si ripaga, questa energia che torna infeconda alla sua matrice rozza, serve a fare di ogni fenomeno un avvenimento singolare, a esprimerne la durata, a toglierci qualunque illusione di perpetuità. È un residuo che dà l’avvertimento più certo della presenza della «materia» in senso bergsoniano, come degradazione, chiusura, ripetizione. È con ragione che nelle coppie più semplici s’individuano il membro maschio e la femmina. Le coppie di cui abbiamo parlato sono soggette in diversa misura a questo spreco. Così il giunto mobile di Cardano trova anche nell’attrito minori limitazioni alla sua mobilità. ● Mediante le macchine noi costringiamo le forze ad agire secondo direzioni utili. Le forze così ci si rivelano come dei numeri, ma dotati di un verso, di una direzione, come delle grandezze, cioè, in cui più della «misura» ha importanza la «posizione», il loro sito. È molto semplice allora scoprire in esse un principio attivo, concreto, che tien conto del numero e della figura, ma più ancora della qualità della materia, la sua massa. Prima, non si sapeva operare sulle forze che graficamente, e il loro giudizio si faceva mediante una grossolana «maniera di vedere». Solo recentemente si è riusciti a esprimerle con soli numeri (i numeri complessi, i vettori), dei numeri inclinati, arricchendone immensamente il campo di probabilità, fino al punto da conoscere il senso di  quei misteriosi legami tra elettricità e magnetismo e di saperne significare la «periodicità», che sembrava la più irriducibile difesa che quelle grandezze opponevano al calcolo. Il vettore rappresenta quindi l’estremo della «mobilità» e il simbolo più preciso che si sia trovato per esprimere l’animazione della luce. ● La storia di questo simbolo ha richiesto un lavoro di secoli, prima che la nostra intelligenza riuscisse pazientemente a servirsene. Ora noi riusciamo senza sforzo, realizzando una enorme economia di pensiero, a scrivere l’andamento di certi fenomeni che non avevano ancora trovato il loro linguaggio. ● L’introduzione dell’«immaginario» ha servito a chiarire i legami tra numero e forza, allo stesso modo che l’«irrazionale» ci ha dato ragione dei vincoli esistenti tra numero e figura. ● È molto interessante ricercare il germe dell’«immaginario» nella storia dei numeri e vedere con quanta diffidenza fu scartato dapprima, con quanto stupore fu riconosciuto, e come la sua insopprimibile presenza suscitasse negli spiriti più sottili allarmi discordi. È una storia in cui vediamo impegnate le intelligenze più segrete: certo l’esplorazione più intricata e faticosa che sia stata fatta dal pensiero nella piena felice del nostro Cinquecento. ● Nell’ARITMETICA di Diofanto alessandrino, che racchiude la somma delle cognizioni possedute dai greci riguardo alla scienza dei numeri, è detto chiaramente che le soluzioni di un’equazione non espresse da numeri interi, frazionari e positivi sono da considerarsi impossibili od assurde, ed infatti le radici immaginarie delle equazioni di secondo grado corrispondono a problemi meccanici e geometrici che non ammettono soluzioni. Ma il seme dell’immaginario si conservò come il grano nelle tombe dei faraoni. Nel Cinquecento ebbero origine le ricerche degli algebristi italiani, intorno alla risoluzione delle equazioni di terzo grado.
Un notissimo problema geometrico che importa la soluzione di un’equazione siffatta è la divisione di un angolo in tre parti eguali: la prima soluzione per via geometrica sembra sia stata data da Nicomède, duecento anni avanti Cristo. Nicomède si servì per questo di una curva da lui stesso inventata e che i greci chiamavano «cocloide», tanto è somigliante al contorno della cavità di una conchiglia. Tale curva si è dimostrata poi di un’efficacia eccezionale tanto che Newton nei suoi Principia propose di ascrivere questa curva, il cui tracciato è facilissimo, insieme alla retta e alla circonferenza (riga e compasso) tra gli strumenti costantemente a disposizione dei geometri. I greci erano riusciti a risolvere graficamente alcuni tipici problemi di grado superiore al secondo (trisezione dell’angolo, duplicazione del cubo), mediante intersezione di curve speciali, tuttavia essi non possedevano a questo riguardo un metodo generale d’indagine. Così pure sono prive di fondamento logico e di ogni utilità pratica le formule risolutive delle equazioni di terzo grado, riprodotte a varie copie in manoscritti medioevali di evidente origine araba. Esse o sono particolari o ingenuamente errate: stanno tuttavia a dimostrare un’aspirazione sempre viva e insoddisfatta. L’esame di questi tentativi ci dice che alla fine del Medioevo si aveva esatta cognizione della natura del problema, si conosceva cioè la forma generale delle equazioni del terzo (e del quarto) grado, riducibili a tre tipi fondamentali: «cubo e cose uguali a numero» (x3 + px = q), «cubo eguale a cose e numero» (x3 = px + q), «cubo e numero eguale a cose» (x3 + q = px). E in queste forme salde si ritrovano problemi antichi che né la puntigliosa arte dei greci né le industrie dei sapienti orientali avevano mai potuto risolvere. Donde il giudizio di impossibilità dato per irrevocabile. ● Il nodo fu sciolto e inaspettatamente, parve, ad opera di un maestro dello studio di Bologna: Scipione Dal Ferro. Nel ’500 Bologna vantava la più illustre università di quei tempi. Al suo seminario di matematica insegnavano uomini come Luca Pacioli da Borgo San Sepolcro, discepolo di Piero e amico di Leonardo, Nicolò Copernico, Scipione Dal Ferro, ai quali si aggiunsero Gerolamo Cardano da Milano, Ludovico Ferrari (a cui si deve la risoluzione dell’equazione di quarto grado) e Raffaele Bombelli, bolognese. Intorno c’era una pleiade di astri minori. Lo studio era frequentato da migliaia di scolari che accorrevano da ogni parte di Europa, specie dalla Germania. Alberto Dürer studiava prospettiva con Scipione Dal Ferro. In questo ambiente così intensamente operoso avveniva la fortunata scoperta. Quando questa scoperta fu divulgata apparve agli occhi dei contemporanei quasi cosa soprannaturale, divina: «Scipio Ferreus bononiensis (scrive il Cardano) capitulum cubi et rerum numero aequalium rem sane, pulchram et admirabilem: cum omnes humanam subtilitatem, omnis ingenij mortalis claritatem ars haec superet, donum profecto celeste, experimentum autem virtutis animorum, atque adeo illustre, ut, qui haec attigerit, nihil non intelligere posse se credat». Per la prima volta la nuova civiltà del Rinascimento riusciva a sorpassare l’ultimo limite segnato alla scienza dalla civiltà classica. Siamo intorno al 1515. Per  guadagnare la fiducia nelle proprie forze, si è detto, era necessaria la certezza di sapersi capaci a trovare qualcosa che fosse sconosciuta agli antichi. Questo spiega come la scoperta della soluzione dell’equazione cubica, nella prima metà del ’500, diede l’impulso a uno sviluppo nuovo e rapido di tutte le scienze pure e applicate. Galilei, Keplero, Cartesio, in diverse direzioni aprirono il primo solco al pensiero moderno. ● Gli stupendi studi di Ettore Bortolotti, che si è giovato dei manoscritti scoperti nella Biblioteca di Bologna, hanno risolto in maniera definitiva il problema, storicamente così importante, di rintracciare la strada seguita dai primi analisti. Si trattava di precisare i vari momenti in cui si matura la durata di questa attenzione assidua a un viluppo di oscuri nessi logici, e seguire questa misteriosa metamorfosi che, da un mostro, un enigma, riesce a estrarre e sciogliere il filo luminoso. Scipione Dal Ferro non diede alle stampe i risultati delle sue indagini. In un manoscritto della Biblioteca di Bologna è stato trovato il passo che contiene la risoluzione dell’equazione nella sua forma classica (x3 + px = q): «quando che il cubo con le cose appresso se eguaglia a qualche numero discreto». Si legge: «Dil cavaliero Bolognetti lui l’hebbe de Messer Scipione dal Ferro vecchio bolognese. Il Capitolo di cose e cubo eguale a numero. Quando le cose e li cubi si eguagliano al numero. Ridurai la equazione a 1 cubo: partendo per la quantità delli cubi, poi cuba la terza parte delle cose, poi quadra la metà dil numero, e questo suma con il detto cubato, et radice quadra di deta summa più la metà del numero fa un binomio, et la radice cuba di tal binomio men la radice cuba dil suo residuo val la cosa». La cosa è l’incognita estratta da quell’ermetico viluppo a cui aderiva con una forza certo superiore a quella che esercita la ganga minerale per stringere l’acino di diamante. Tale soluzione fu trovata indipendentemente, ma seguendo lo stesso procedimento da Nicolò Tartaglia, bresciano, il 12 febbraio 1535. Ed ecco come, sotto il velame della terza rima, fu da lui enunciata: «Quando chel cubo con le cose appresso / se eguaglia a qualche numero discreto / trovan due altri differenti in esso. / Dappoi terrai questo per consueto / che il lor produtto sempre sia eguale / al terzo cubo delle cose neto. / El residuo poi suo generale / delli lor cubi ben sottratti / varrà la tua cosa principale». Gerolamo Cardano apprese questa regola da Tartaglia e spetta a lui il merito di averla per primo corredata di una dimostrazione e d’averci fatto così intravedere le ingegnose argomentazioni geometriche che per la prima volta dovettero servire a sciogliere il nodo triplo. ● Questo accadeva tra dispute violente, risse, minacce, ingiurie, rivendicazioni. È difficile trovare nella storia del pensiero l’esempio di un fatto simile: tutte le classi della società s’interessano a queste tenzoni algebriche, con una curiosità pari, solo, a quella che gli antichi dimostravano nelle feste olimpiche per i versi di Pindaro e i giuochi degli atleti. La Pizia aveva così rivelato l’oracolo. Ma quale insidia si celava sotto il suo linguaggio ambiguo? ● Già il Cardano nella risoluzione di un problema si era trovato a dover considerare la radice quadrata di un numero «falso o ficto» com’egli chiamava i numeri negativi: «quae quantitas – egli scriveva – vere est sophistica, quoniam per eam non ut in puro minus nec in aliis operationibus exercere licet, nec venari quid sit. Hucusque progreditur arithmetica subtilitas, cujus hoc extremum adeo est subtile ut sit inutile». E fermandosi più tardi un po’ più a lungo sulla considerazione delle radici quadrate dei numeri negativi, osservava: «tales aequationes requirunt intellectum subtilissimum et sunt quasi entia rationis» ed esprimeva il dubbio che tali numeri nascondessero una «terza natura». Ma l’immaginario esisteva e Cardano stesso, proprio cercando tutti i raggiri per evitarlo, non faceva altro che stimolarne la presenza. ● Mentre così si logorava il genio di Cardano, Raffaele Bombelli, caduto anche lui nell’intrico delle «quantità silvestri» (come le chiama Cardano nell’ultima edizione della sua ARTIS MAGNAE stampata nel 1570 a Basilea) riusciva non solo ad estendere a questi numeri il campo delle operazioni, quanto a utilizzarli a tal punto che, operando su questi enti considerati irriducibili, trovava davvero miracolosamente la maniera di estrarre da essi una radice reale. «Benché a molti parerà questa cosa stravagante, perché di questa opinione fui anche già un tempo parendomi piuttosto fosse sofistica che vera, nondimeno tanto cercai che trovai la dimostrazione, la quale sarà qui sotto notata». La sua opera fu studiata e meditata per oltre un secolo dopo di lui. E a tutti la teoria dei numeri immaginari apparve, come era apparsa al suo inventore, stravagante e perciò oscura. Il Cardano che la conobbe tra i primi sorse subito a domandarsi quali grandezze fossero rappresentate dai numeri complessi («nescimus, quae quantitates verae sint, quae tot miracula faciunt»), il calcolo coi quali veniva a contraddire le proposizioni di Euclide («hoc destruit totum Euclidem!»). Poi venne la conferma al fatto che essi numeri erano da intendersi come grandezze «orientate», che importavano nella loro espressione un modulo (una misura di lunghezza) e un argomento (un Carciopholus romanus angolo). Quando Cartesio nel 1637 stende le pagine della sua GEOMETRIE, considerando le soluzioni d’un’equazione, aggiunge: «Au reste, tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousiours réelles, mais quelquefois seulement imaginaires». E qui per la prima volta la parola «immaginario» generalmente adottata in seguito, compare contrapposta all’altra «reale». Neppure Leibniz riuscì a comprendere chiaramente che cosa fosse questo «immaginario» quando, ancora nel 1702, lo chiamava ANALISEOS MIRACULUM, IDEALIS MUNDI MONSTRUM, PENE INTER ENS ET NON ENS AMPHIBIUM.

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L'inverno si risole per noi in una quiete inganni e senza furori. Naturalmente depresse ogni estasi, noi siamo qui a ricercare la nostra più stabile abitazione, i motivi di una calma esperta. Acconsentiremo a farci tutelare da questa solitudine piena di riserve; infruttuosa e guardinga. L'astuzia non ci basta più. Da troppo tempo abbiamo sotto i patti col demonio. Sarà sufficiente portare in salvo giorno per giorno la nostra intimità, che è la nostra compagna più sacra, o risentirla in ogni passo. Ci siamo preoccupati di esserci fedeli, di non tradire la nostra bontà, di difenderla con una forza pari a quella del sesso. Giorno verrà che di tutto il nostro tempo perduto, non avremo a rimorderci più, che la nostra semina paziente, se pure non avrà dato frutto evidente, farà la nostra ultima stagione gremita. Noi ci consoleremo, allora, se avremo la forza di rivoltare le pietre: i cieli saranno più bassi e la terra franta ce ne porterà l'odore. Di tutti i vizi ci resterà, forse, questa insana abitudine a parlarci da soli. Se l'avremmo meritata non risentiremo più la smania di narrarcela. In nostra compagnia noi non abbiamo tante volte che voglia di dormire. Questa sarà l'estrema lotta, che daremo al nostro sangue.

Montemurro, inverno 1935-1936

19 Gennaio 2021

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